Les cours proposés au semestre 5

6 crédits

Horaire : Cours 36h  TD 36h

 

Prérequis. Bases de la théorie des espaces vectoriels. AL1, AL2 recommandés.

1. Réduction des endomorphismes. Théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation, triangulation,polynôme annulateur, décomposition de Dunford-Jordan.

2. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, dualité. Rang d'une telle forme, forme non dégénérée. Matrice d'une forme, formule de changement de base, matrices congruentes, orthogonal d'une partie, formule sur la dimension de l'orthogonal. Un espace et son orthogonal, existence d'une base orthogonale.

3. Classification des formes quadratiques sur R, signature. Décomposition d'une forme quadratique ensommes et différences de carrés (algorithme de Gauss).

4. Espaces euclidiens : inégalité de Cauchy-Schwartz. Procédé d'orthonormalisation. Endomorphisme adjoint.Diagonalisation des endomorphismes symétriques. Réduction des endomorphsmes orthogonaux.

5. Espaces hermitiens : endomorphisme adjoint, endomorphisme hermitien. Diagonalisation des endomorphismes normaux dans une base orthonormale.

6. Caractérisation min-max de Courant-Fischer. Normes matricielles, rayon spectral. Approximation spectrale, cercles de Gershgorin, théorèmes de perturbation, suites de Sturm, méthodes de puissance, QR et Jacobi, sous-espaces de Krylov.

 

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Le but de ce cours est double. Il s'agit d'une part d'étudier de manière approfondie les notions d'algèbre linéaire utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques. D'autre part, on analyse les principales méthodes pour la résolution des systèmes linéaires et l'approximation spectrale. Ces méthodes, largement utilisées par les chercheurs et ingénieurs, soulèvent des problèmes théoriques nécessitant une connaissance solide de l'algèbre matricielle. Matrices symétriques et hermitiennes, théorème de Schur, orthonormalisation, quotient de Rayleigh, caractérisation min-max de Courant-Fischer, décomposition en valeurs singulières. Normes matricielles, rayon spectral. Matrices positives, théorème de Perron-Frobénius. Systèmes linéaires carrés : conditionnement, méthodes directes de résolution, transformation de Householder, factorisations, profils, méthodes itératives, méthodes variationnelles (gradient, gradient conjugué). Systèmes surdéterminés, moindres carrés. Approximation spectrale : cercles de Gershgorin, théorèmes de perturbation, suites de Sturm, méthodes de puissances, QR et Jacobi, sous-espaces de Krylov. Applications au cas non linéaire : point fixe, méthode de Newton-Raphson.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Prérequis : vocabulaire de la théorie des ensembles.

1. Groupes, sous-groupes, théorème de Lagrange, ordre d'un élément. Exemple du groupe diédral.

2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes ; propriété universelle du groupe (Z; +).

3. Sous-groupes distingués, groupes quotients, propriété universelle du quotient. Exemples(Z/nZ). Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et d'un de ses quotients.

4. Produits de groupes : groupe produit de sous-groupes. Produits semi-directs.

5. Groupes cycliques : générateurs, sous-groupes, groupe multiplicatif d'un corps fini.

6. Groupe symétrique. Conjugué dune permutation, décomposition en cycles disjoints, signature. Groupe alterné.

7. Actions de groupe : orbites, stabilisateurs, formule des classes, formule de Burnside, exemples (groupe agissant sur lui-même ou sur ses parties par translation, par conjugaison), applications (sous-groupe d'indice p minimal, théorème de Burnisde, sous-groupes finis de SO(3;R), nombre d'orbites).

8. Théorèmes de Cauchy et de Sylow. Applications : classification des groupes d'ordre 12, 30, etc. Groupes définis par générateurs et relations.

9. Groupes abéliens de type fini.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Prérequis. Notions de la théorie des anneaux. AR3 conseillé.

1. Premières définitions : anneau, morphisme d'anneaux, noyau, image, idéaux, quotient, théorème defactorisation, éléments irréductibles, groupe des éléments inversibles.

2. Exemples d'anneaux et d'idéaux : Z, Z/nZ, A[X], corps, anneaux de fonctions continues, séries formelles.Notion d'algèbre (définition, morphisme). Etude des algèbres k[X]=(P) et des algèbres Z/nZ (endomorphismes de ces algèbres, résolution d'équations dans ces algèbres). Corps finis et applications en cryptographie (codes cycliques, protocoles El Gamal, Die-Helmann).

3. Anneau intègre, corps, diviseur de zéro, idéal premier, idéal maximal (résultat admis : tout idéal strict est contenu dans un idéal maximal). Théorème des restes chinois général.

4. Localisation (propriété universelle et existence). Exemple: corps des fractions d'un anneau intègre.

5. Anneaux euclidiens. Algorithme d'Euclide étendu. (exemples fondamentaux : Z et k[X], les entiers de Gauss, théorème des deux carrés).

6. Anneaux principaux. PGCD et PPCM dans un anneau principal, traduction en termes d'idéaux. Exemples d'anneaux non principaux.

7. Anneaux factoriels (éléments irréductibles, définition, propriétés d'hérédité). Exemples d'anneaux non factoriels. Retour sur les anneaux de polynômes et polynômes irréductibles (critères d'irréductibilité).

6 crédits

Horaire  Cours  24h  TD  24h  TP 12h

L'élasticité linéaire est le modèle de comportement avec lequel on débute la mécanique des milieux continus. (la construction et l'utilisation de modèles plus puissants s'en inspire). On définit la déformation d'un corps, les contraintes qu'il subit, son comportement sous des actions simples telles que la traction, la torsion ou la flexion. Les applications sont déjà une initiation aux situations d'études rencontrées par l'ingénieur (problèmes aux limites, problèmes plans, équations des ondes, ondes guidées). Les mathématiques associées utilisent du calcul matriciel et différentiel classiques.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

L’objectif est de maîtriser les notion fondamentales de géométrie affine et de faire une introduction à la géométrie projective.

Espaces affines et sous-espaces.

Parallélisme. Théorème d’incidence.

Applications affines, projections, homothéties, translations, symétries.

Groupe affine. Enveloppe vectorielle d’un espace affine. Repères affines et repères cartésiens. Calcul barycentrique.Théorèmes de Desargues, Pappus, Thales, Céva et Menelaüs. Convexité, orientation.

Notions de géométrie projective, homographie, bi-rapport, liens avec les théorèmes précédents

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

1. Théorie de la mesure: algèbres, sigma-algèbres, mesures, mesures extérieures et extension de Lebesgue, classes monotones

2. Intégrale de Lebesgue: fonctions mesurables, convergence en mesure, presque partout, intégrale pour des fonctions étagées, définition et propriétés élémentaires de l'intégrales de Lebesgue, espace L^1 et sa complétude, théorème de Beppo-Levi, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée de Lebesgue, critères d'intégrabilité, lien avec l'intégrale de Riemann

3. Théorème de Fubini

4. Théorème de Radon-Nikodym

5. Espaces L^p, inégalités de Holder et Minkowski, intégrales à paramètres, transformation de Fourier dans L^1

6. Convolution, fonctions C^\infty et régularisation, partitions de l'unité, théorème de Féjer pour les séries de Fourier

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h  TP 6h

Rappel de la mécanique des solides rigides : rotation, tenseur d’inertie, équation d’Euler. Equations d’Euler-Lagrange : méthode de d’Alembert, principe variationnel de Hamilton, liaisons holonomes, applications aux systèmes. Stabilité des systèmes discrets : critère énergétique (Lejeune-Dirichlet), critère dynamique (Lyapounov). Vibrations linéaires des systèmes discrets : oscillateur conservatif, oscillateur dissipatif, notions de modes propres, vibrations forcées déterministes.

(enseignement de L3 MASS)

6 crédits

Horaire : Cours 36h  TD 36h

I. Economie de l'incertain
* Savoir : utilité espérée, aversion au risque, modèle de Markovitz, application à la finance et à l'analyse du statut juridique d'une entreprise
* Savoir-faire : prise de décision en situation de risque, d'incertitude

II. Comportements stratégiques
* Savoir : présentation de jeux statiques et dynamiques à information complète, équilibre de Nash en stratégies pures et mixtes, équilibre de Nash en sous-jeu, jeux sous forme normale et développée
* Savoir-faire : élaboration d'un langage permettant d'analyser les situations d'interactions stratégiques sur les différents marchés

6 crédits ECTS

Horaire : Cours 24h  TD 24h

 

Modules utilisés : AN1, AN2, AN3

 

1. Convergence simple et convergence uniforme pour les suites de fonctions réelles de variable réelle.  Continuité pour les fonctions complexes de variable complexe, exemples.  Continuité d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues.  

2. Séries de fonctions, convergence normale, convergence simple et semi-convergence.  Séries et primitives, application à la dérivation de séries.  

3. Séries entières, rayon de convergence, critères de Hadamard et de Cauchy.  Fonctions holomorphes définies comme égales à leur développement en série sur un petit disque.  Distinction analytique réel et infiniment différentiable (sur des exemples). 

4. Application des séries à la résolution d'équations différentielles. 

5. Séries de Fourier. Cas d'une fonction continûment différentiable. Lien avec les séries entières dans le disque.    

 

Référence pour ce cours : Polycopié disponible sur http://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/

Référence pour préparer ce cours : les deux premiers chapitres de  Suites, séries, intégrales  de Sylvie Guerre-Delabrière, Ellipes 2009

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

 

    Prérequis. Vocabulaire de la théorie des ensembles. AR3 conseillé.

1. Groupes, sous-groupes, théorème de Lagrange, ordre d'un élément. Exemple du groupe diédral.

2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes ; propriété universelle du groupe (Z; +).

3. Sous-groupes distingués, groupes quotients, propriété universelle du quotient. Exemples(Z/nZ). Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et d'un de ses quotients.

4. Produits de groupes : groupe produit de sous-groupes. Produits semi-directs.

5. Groupes cycliques : générateurs, sous-groupes, groupe multiplicatif d'un corps fini.

6. Groupe symétrique. Conjugué dune permutation, décomposition en cycles disjoints, signature. Groupe alterné.

7. Actions de groupe : orbites, stabilisateurs, formule des classes, formule de Burnside, exemples (groupe agissant sur lui-même ou sur ses parties par translation, par conjugaison), applications (sous-groupe d'indice p minimal, théorème de Burnisde, sous-groupes finis de SO(3;R), nombre d'orbites).

8. Théorèmes de Cauchy et de Sylow. Applications : classification des groupes d'ordre 12, 30, etc. Groupes définis par générateurs et relations.

9. Groupes abéliens de type fini.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Distances et espaces métriques. Espaces normés.Toplogie d'un espace métrique.  Notion d'espace toplogique : ouverts, fermés, voisinages; intérieur, adhérence et frontière d'une partie.  Topologie induite, toplogie produit, topologie quotient. Notion de limite. Continuité, applications linéraires continues. Compacité; cas métrisable. Complétion. Espaces de Banach. Théorème du point fixe. Connexité. Théorème de Stone-Weierstrass.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

1. Topologie d'un espace vectoriel normé : voisinage, ouvert, fermé, adhérence. 

2. Normes et distances : définition, exemples, comparaison. 

3. Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé : convergence, suites extraites, valeurs d'adhérence. Etude locale d'une application, continuité : limite d'une application, composition de fonctions continues...

4. Complétude, compacité : suites de Cauchy, critère de Cauchy, compacité séquentielle, théorème de Bolzano-Weierstrass, image par une application continue d'une partie compacte. Une fonction continue à valeurs réelles définie sur un compact atteint ses bornes.

5. Continuité des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie, équivalence des normes en dimension finie. Connexité par arc.

Les cours proposés au semestre 6

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h TP 12h
 

-On analyse les principales méthodes pour la résolution des systèmes linéaires et donne des compléments sur l'approximation spectrale. Ces méthodes, largement utilisées par les chercheurs et ingénieurs, soulèvent des problèmes théoriques nécessitant une connaissance solide de l'algèbre matricielle:

      Matrices symétriques et hermitiennes, théorème de Schur, othonormalisation, quotient de Rayleigh

      Normes matricielles, rayon spectral, matrices positives, théorème de Perron-Frobenius.

      Systèmes linéaires carrés: conditionnement, méthodes directes de résolution, transformation de Householder, factorisations, profils, méthode itératives, méthodes variationnelles (gradient, gradient conjugué).

      Systèmes surdéterminés, moindres carrés.

      Compléments en approximation spectrale: méthodes des sous espaces de Krylov. Application au cas             non-linéaire: point fixe, méthode de Newton-Raphson.

-Intégration numérique et compléments sur l'analyse numérique des équations différentielles (méthodes à un pas, multipas, à pas adaptatif).

6 crédits

Horaire : Cours 36h TD 36h

1. Différentielle d'une application, dérivées partielles. Cas des applications multilinéaires continues. Composition. 
2. Inversion locale et fonctions implicites. Changement de variable.
3. Extrema, extrema liés et introduction succincte aux sous-variétés de R^n, étude locale.
4. Théorème de la moyenne. Formule de Taylor. Laplacien. Fonctions harmoniques. 
5. Fonctions holomorphes. Développement en séries entières. Analyticité. Principe du maximum.
6. Théorème des résidus. Théorèmes de Liouville et de D'Alembert.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h  TP 12h

Le module comporte 3 cours de 8 heures, associés chacun à 6 heures de TD, un stage en classe de 12 heures et un TD de 6h consacré à l'encadrement du stage.
Cours 1  : Psychologie et didactique de la résolution de problèmes
Le premier objectif de ce cours est d'apporter aux étudiants un certain nombre de résultats et de notions utiles pour comprendre les processus cognitifs qui sont à la base de l'activité de résolution de problèmes. Cet apport théorique s'appuie sur de nombreux exemples. Il est construit autour de deux notions principales : celle de représentation du problème et celle de schéma de problèmes.
Le second objectif du cours est de présenter quelques recherches portant sur les aspects didactiques de la résolution de problèmes dans le cadre d'un enseignement de mathématiques. Les deux questions principales auxquelles cet examen de travaux récents permettra de répondre sont les suivantes : quelle différence existe-t-il entre apprendre à résoudre et aider à résoudre des
problèmes ? Comment prendre en compte les résultats de ces travaux dans l'apprentissage des mathématiques ?
Cours 2  : Analyse et apprentissage de la démonstration en mathématiques
Ce cours a pour but de donner des moyens à de futurs enseignants d'analyser et de comprendre les processus qui interviennent dans la conception et l'écriture d'un texte de démonstration.
Après avoir analysé les structures d'une démonstration, on en étudie les difficultés : difficultés structurelles, difficultés du langage utilisé, à l'aide de  textes  issus soit de manuels, soit de copies d'élèves.  Une méthode d'analyse de copies est proposée qui peut permettre de comprendre certaines difficultés et faire progresser les élèves. Des activités, élaborées  par des groupes de recherche IREM, sont présentées.

Cours 3  : Rôle des mathématiques dans la société actuelle à partir de quelques exemples : météorologie, informatique, cryptologie, médecine, analyse des données, etc. et de quelques histoires sur des mathématiciens récents.
Stage d'observation en classe
Le stage a deux objectifs principaux :
- aider l'étudiant à affiner son projet professionnel en lui permettant d'approcher au plus près la réalité du métier d'enseignant ;
- l'amener à acquérir des compétences qui lui seront utiles lors de sa formation professionnelle à l'UFM, en particulier : apprendre à observer et analyser les processus d'apprentissage et d'enseignement propres aux mathématiques.
Le volume du stage est de 12 heures de présence dans une classe (école, collège ou lycée), plus 6 heures de TD d'accompagnement. Le stage est validé par un rapport.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h 

1. Introduction aux équations différentielles, le problème à deux corps, équations linéaires scalaires du premier ordre. exemples d'équations non-linéaire s scalaires. Méthode de séparation des variables, équations homogènes, facteurs intégrants, exemples: équations de Riccati, de Bernouilli, de Lagrange-Clairaut.

2. Théorèmes généraux. Théorème de Cauchy-Lipschitz, Lemme de Gronwall, théorème de Péano. Solutions maximales, solutions globales. Dépendance continue.

3. Systèmes et équations linéaires. Coefficients constants, coefficients variables, solutions développables en séries entières.

4. Stabilité. Systèmes linéaires autonomes dans le plan. Méthode de Lyapounov. Systèmes dynamiques dans le plan.

5 . Champs de vecteur, flot, équations aux dérivées partielles du premier ordre.

6. Méthodes numériques, généralités sur les méthodes à un pas. Consistance, stabilité, convergence Méthode d'Euler et du point milieu. Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

 

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Ce module propose une initiation à l'épistémologie et à l'histoire des sciences. Ouvert aux étudiants de tous les cursus, il propose une réflexion sur les sciences à partir de l'étude de leur histoire.

Il ne suppose pas de connaissances préalables particulières. Il vise principalement à entretenir chez les étudiants scientifiques la pratique de la lecture et de l'écriture,  à développer leur capacité
d'analyse et de réflexion sur les sciences par l'étude de textes divers et la rédaction d'analyses et de résumés.

La période couverte va essentiellement de l'Antiquité grecque jusqu'au développement de la science moderne (17e siècle). La lecture de textes fondamentaux pour l'histoire des sciences donnera à
l'étudiant des repères historiques et les bases pour une réflexion sur les principes et le développement des sciences.

Nous étudierons dans cette perspective diverses représentations de l'univers, les recherches d'un traitement rationnel du mouvement et sa mathématisation, et le statut de ces théories. L'examen des
rapports de ces théories à la philosophie, à la physique, aux mathématiques, etc. contribuera à mieux apprécier les enjeux, les exigences et la portée des connaissances scientifiques actuelles.

Parmi les thèmes abordés :
- La physique et la cosmologie d'Aristote et la notion de mouvement local.
- L'Almageste, la description mathématique des mouvements des astres.
- L'univers de Copernic et les trois lois de Kepler.
- L'astronomie et la physique de Galilée.
- La physique et la gravitation universelle dans les Principia Mathematica de Newton.

 

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

1. Espaces vectoriels normés - Rappels de topologie des espaces métriques - Dual topologique. Continuité des formes linéaires - Rappels des résultats en dimension finie.
2. Complétude. Espaces de Banach - Existence et unicité du complété - Exemples classiques - Théorème du point fixe - Séries d'opérateurs.
3. Espaces de Hilbert - Théorème de projection - Théorème de représentation - Bases hilbertiennes. Relation de Parseval - Exemples classiques - Théorie spectrale élémentaire.
4. Espaces localement compacts - Compacité et compactification - Théorème de représentation des mesures de Radon.
5. Théorème de Baire et ses premières applications.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h  TP 12h

Fondements : Rappels de Mécanique classique, différences fluide versus solide, hypothèse de milieu continu, modélisation des efforts, vecteur contrainte, tenseur des contraintes, calcul indiciel et tenseur d'ordre 2. Cinématique : Description lagrangienne et eulérienne d'un écoulement, volume matériel et volume de contrôle, dérivée particulaire, trajectoire, ligne de courant, décomposition du gradient du champ des vitesses et analyse du mouvement relatif. Dynamique : Conservation de la masse, de la quantité de mouvement. Modèle du fluide Newtonien : Loi de comportement, Navier-Stokes, Navier et Euler,conditions aux limites cinématiques sur une paroi et sur une interface entre deux fluides non-miscibles. Mécanique des fluides pour l'ingénieur : Théorème de Bernoulli, d'Euler, conservation des débits. Analyse dimensionnelle et similitude : Observables, quantités physiques et dimension, Théorème de Vaschy-Buckingham.

 

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

L’objectif est de maîtriser les notions standard en géométrie euclidienne. 

Espaces affines euclidiens. Orthogonalité. Théorème de Pythagore.

Intersection de sphères et de plans. Triangles. Isométries. Projections et symétries orthogonales. Groupes des isométries.

Décomposition canonique. Classification en petite dimension.

Groupe des rotations. Angles et mesure d'angles dans le plan. Similitudes.   

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Espaces L^p et espaces de mesures : les espaces L^p, approximations dans L^p, l'espace de Hilbert L^2, dualité, intégrabilité uniforme.

Quelques compléments sur les espaces de fonctions : convolution, fonctions à variation bornée.

Séries de Fourier : coefficients de Fourier, noyau de Fejér, sommabilité en norme et espaces de Banach homogènes sur le tore, convergence ponctuelle de sommes de Cesàro, ordre de grandeur des coefficients de Fourier.

Convergence des séries de Fourier : noyau de Dirichlet, convergence en norme, convergence ponctuelle, fonctions de variation bornée.

Transformée de Fourier : transformée pour des fonctions L^1, transformée pour de fonctions L^2.

3 crédits

Horaire : Cours 12h  TD 12h

L'objet de ce cours est d'illustrer les relations entre les différentes théories mathématiques qui auront été abordées pendant les trois années de licence.

3 crédits

Horaire : Cours 12h  TD 12h

L'objet de ce cours est d'apprendre à utiliser au mieux les différents outils électroniques et informatiques pour la communication mathématique.

6 crédits

Horaire : Cours 20h  TD 20h  TP 20h 

Ce cours s'adresse aux étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances en matière d'informatique scientifique et plus particulièrement à ceux qui souhaitent s'inscrire dans un master d'ingénierie où la programmation scientifique joue un rôle important.

Ce cours a pour but de présenter les notions informatiques essentielles liées à la transcription d'un algorithme numérique en une version codée en un langage de programmation. Différentes notions intervenant dans le contexte général du calcul scientifique sont abordées, de manière plus ou moins approfondie en fonction des buts visés et des connaissances préalables de l'auditoire.

- On s'attache notamment à décrire l'articulation entre un langage informatique et un système informatique lorsqu'on se place du point de vue du programmeur d'une application de calcul scientifique, à travers la présentation de différentes notions caractérisées par les mots-clés suivants : architecture d'un ordinateur, système d'exploitation, gestion des ressources et des tâches, système de fichiers, compilation et édition de liens, type d'une information et son codage, zones de mémoire,  contrôle de l'exécution du programme, transmission des arguments, allocation de mémoire, entrées-sorties.

- Un chapitre spécial porte sur l'arithmétique des ordinateurs et l'analyse des erreurs liées a l'utilisation des "nombres flottants".

- Des outils couramment employés dans le domaine du génie logiciel sont aussi introduits : debugger, gestionnaire de bibliothèque.

- Quelques éléments d'algorithmique (structures de données) sont évoqués.

Les notions décrites sont illustrées dans le cas du langage C et des travaux pratiques sur ordinateur dans l'environnement Linux sont réalisés. On y met en oeuvre en particulier des algorithmes issus du domaine de l'analyse numérique. Les séances de travaux dirigés sont destinées a préparer les séances de travaux pratiques, en fournissant les principaux éléments utiles du langage C et au besoin des compléments de cours.

6 crédits

Horaire : Cours 24h  TD 24h

Tribus, mesure, intégrale de Lebesgue. Espaces de probabilités, espérance mathématique. Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques. Calculs de lois, changement de variables. Notion d'indépendance. Notions d'espérance conditionnelle et de loi conditionnelle. Vecteurs Gaussiens,  théorème de Cochran, lois du Chi-2, de Student et de Fisher.Lemme de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, dans Lp, en probabilité, en loi. Théorèmes limites : Loi  des grands  nombres, théorème-limite central.

Les langues (enseignement annuel comptant pour le semestre 6)

3 crédits

L'enseignement des langues (Allemand, Anglais, Espagnol) est organisé par le SCELVA. Il est annuel mais compte pour le semestre 6. Une partie de cet enseignement est en auto-formation.

Pour plus de précisions et en particulier pour connaître les conditions d'assiduité il est utile d'assister à la réunion de rentrée ou de s'adresser au SCELVA.